(一)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
函数与一元二次方程
知识考点:
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系;
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。
精典例题:
【例1】已抛物线
(1)
(2)如果抛物线与
分析:抛物线与
略解:(1)由已知有
(2)由
又∵
∴
∴
∴
【例2】已知抛物线
(1)求证:不论
(2)设抛物线与
(3)在(2)的条件下,以BC为直径作⊙M,问⊙M是否经过抛物线的顶点P?
解析:(1)
(2)
=
又∵
∴
解得
∴
(3)
∵
∴⊙M不经过抛物线的顶点P。
评注:二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,因此,善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化,是解相关问题的常用技巧。
探索与创新:
(1)求证:该抛物线与
(2)设有直线
(2)当
解析:(1)
∵
∴
(2)由
由
设E(
∴
由
由
∴
∴
∴
∴△ABC是等边三角形。
(3)
∴
∴
设过P、Q两点的圆与
∴
故所求圆的圆心坐标为(2,-1)或(2,1)
评注:本题(1)(2)问与函数图像无关,而第(3)问需要用前两问的结论,解题时千万要认真分析前因后果。同时,如果后一问的解答需要前一问的结论时,尽管前一问没有解答出来,倘能会用前一题的结论来解答后一问题,也是得分的一种策略。
跟踪训练:
一、选择题:
1、已知抛物线
A、-2 B、12 C、24 D、-2或24
2、已知二次函数
A、
3、如图,抛物线
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、设函数
A、
二、填空题:
1、已知抛物线
2、抛物线
3、若抛物线
4、已知二次函数
三、解答题:
1、已知二次函数
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中抛物线上是否存在点P,使△POA的面积等于△EOB的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
2、已知抛物线
(1)求过点C、B、D的抛物线解析式;
(2)若P是(1)中所求抛物线的顶点,H是这条抛物线上异于点C的另一点,且△HBD与△CBD的面积相等,求直线PH的解析式;
3、已知抛物线
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
参考答案
一、选择题:CDBD
二、填空题:
1、2;2、
三、解答题:
1、(1)
2、(1)
3、(1)
(二)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数
一、选择题
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特点,一元二次方程解的意义.关键是求二次函数解析式,根据二次函数的对称轴,开口方向判断函数值的大小.
2. (2011台湾,32,4分)如图,将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上,
22
判断方程31x-999x+89=0的两根,下列叙述何者正确( )
A.两根相异,且均为正根 C.两根相同,且为正根
B.两根相异,且只有一个正根 D.两根相同,且为负根
考点:抛物线与x轴的交点。 专题:综合题。
分析:由二次函数y=31x2-999x+892的图象得,方程31x2-999x+892=0有两个实根,两根都是正数,从而得出答案.
解答:解:∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点,且与x轴的正半轴相交,
∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根.
故选A.
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点问题,注:抛物线与x轴有两个交点时,方程有两个不等的实根;抛物线与x轴有一个交点时,方程有两个相等的实根;抛物线与x轴无交点时,方程无实根.
3. .(2011?江西,6,3)已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为(1,0),则它与x轴的另一个交点坐标是( ) A、(1,0)
B、(2,0) C、(﹣2,0)
D、(﹣1,0)
考点:抛物线与x轴的交点。
分析:把交点坐标(1,0),代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值,进而知道抛物线的对
称轴,再利用公式x=x?
x1?x2
2
??
12
,可求出它与x轴的另一个交点坐标.
解答:解:把x=1,y=0代入y=x2+bx﹣2得: 0=1+b﹣2, ∴b=1, ∴对称轴为x??∴x?
x1?x2
2
??
b2a12??
12
,
,
∴x2=﹣2,
它与x轴的另一个交点坐标是(﹣2,0).
故选C. 点评:本题考查了二次函数和x轴交点的问题,要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x?
x1?x2
2
??
12
。
4. (2011襄阳,12,3分)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( ) A.k<4 B.k≤4 C.k<4且k≠3 D.k≤4且k≠3 考点:抛物线与x轴的交点;根的判别式;一次函数的性质。 专题:计算题。
分析:分为两种情况::①当k-3≠0时,(k-3)x+2x+1=0,求出△=b-4ac=-4k+16≥0的解集即可;②当k-3=0时,得到一次函数y=2x+1,与X轴有交点;即可得到答案.
解答:解:①当k-3≠0时,(k-3)x2+2x+1=0, △=b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+16≥0, k≤4;
②当k-3=0时,y=2x+1,与x轴有交点. 故选B.
点评:本题主要考查对抛物线与x轴的交点,根的判别式,一次函数的性质等知识点的理解和掌握,能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.
5. (2011湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(
12
2
2
,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<0.其中
正确结论的个数是( )
A.1 C.3
B.2 D.4
考点:二次函数图象与系数的关系。
专题:计算题。
分析:根据二次函数图象反应出的数量关系,逐一判断正确性. 解答:解:根据图象可知: ①c<0,c>0 ∴ac<0,正确; ②∵顶点坐标横坐标等于
b2a
12
12
,
∴-=,
∴a+b=0正确;
③∵顶点坐标纵坐标为1, ∴4ac?b4a
2
=1;
∴4ac﹣b2=4a,正确;
④当x=1时,y=a+b+c>0,错误. 正确的有3个. 故选C.
点评:本题主要考查了二次函数的性质,会根据图象获取所需要的信息.掌握函数性质灵活运用.
6. (2011广西崇左,18,3分)已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下
列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是( )
A.①⑤
B.①②⑤ C.②⑤
D.①③④
考点:二次函数图象与系数的关系.
专题:数形结合.
分析:由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:①∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
b
∵对称轴为x???0,
2a
∴a 、b异号,即b<0,
又∵c<0,∴abc>0, 故本选项正确;
b
②∵对称轴为x???0,a>0,
2a
∴﹣b>2a, ∴2a+b>0;
故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2<y1,所以不能确定; 故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2; ∴(a+c)2=b2 故本选项错误;
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2; 当x=1时,a+b+c=0, ∴a+c=1,
∴a=1+(﹣c)>1,即a>1; 故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤. 故选A.
点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换;二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0;
b
(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x??判断符号;
2a
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2﹣4ac>0;1个交点,b2
﹣4ac=0,没有交点,b﹣4ac<0.
7.(2011广西防城港 6,3分)已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1
经过的象限是( ) A.第一、二、三象限
B.第二、三、四象限
2
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
考点:二次函数图象与系数的关系;一次函数图象与系数的关系 专题:二次函数
分析:二次函数图象的开口向上时,二次项系数a>0;一次函数y=kx+b(k≠0)的一次项系数k>0、b<0时,函数图象经过第一、三、四象限.
解答:D
点评:本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系.二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号.
8.(2011湖北黄石,9,3分)设一元二次方程(x﹣1)(x﹣2)=m(m>0)的两实根分别为α,β,且α<β,则α,β满足( )
A.1<α<β<2 B.1<α<2<β C.α<1<β<2 D.α<1且β>2
考点:抛物线与x轴的交点;根与系数的关系。
专题:数形结合。
分析:先令m=0求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围. 解答:解:令m=0,
则函数y=(x﹣1)(x﹣2)的图象与x轴的交点分别为(1,0),(2,0), 故此函数的图象为:
∵m>0,
∴α<1,β>2.
故选D.
点评:本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=(x﹣1)(x﹣2)与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键.
9.(2011?黔南,9,4)分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=( )
A、1
B、﹣1
C、﹣2 D、0
考点:抛物线与x轴的交点。 专题:数形结合。
分析:先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0,求出k的值,再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值.
解答:解:∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得, ﹣9+6+k=0,解得k=3,
∴原方程可化为:﹣x+2x+3=0, ∴x1+x2=3+x2=﹣故选B.
2?1
2
=2,解得x2=﹣1.
(三)6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
知识考点:
1、掌握一次函数的概念及图像;
2、掌握一次函数的性质,并能求解有关实际问题;
3、会用待定系数法求一次函数的解析式。
精典例题:
【例1】已知直线
A、1 B、2 C、3 D、4
解:根据题意知,直线
评注:本题关键是掌握一次函数
【例2】一直线与
分析:欲求直线的解析式,需要两个独立的条件建立关于
答案:
【例3】如下图,已知直线
(1)求两个函数的解析式;
(2)若BP交
解析:
(1)作PH⊥AO,则PH=4,OH=1,BH=
∴B(-1,0)。设A(
(2)
评注:灵活运用勾股定理等几何知识求线段长,进而求点的坐标,是解函数题的常用方法。
探索与创新:
【问题一】如上图,已知直线
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求经过C的直线解析式;
(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求经过C的直线解析式。
解析:(1)如上图,过B(0,2),C(1,0)的直线解析式为
(2)设
解得
经过点M作直线MN∥OA交AB于N(
∴直线CM:
评注:本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。
【问题二】某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用后,那么服药后2小时血液中含药量最高,达每毫升6微克,(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量
(1)分别求出
解析:(1)设
(2)把
评注:本题是一道一次函数与医药学综合的题目,解题的关键是要将函数图像抽象成解析式,然后结合函数的知识求解。本题趣味性强,能从中了解医药的一些知识。
跟踪训练:
一、选择题:
1、若函数
A、6 B、
2、已知M(3,2),N(1,-1),点P在
A、(0,
3、若一次函数
A、
4、直线
A、
C、
5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元,全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示,那么小李赚()
A、32元 B、36元 C、38元 D、44元
二、填空题:
1、若
2、一次函数
3、如图,已知直线PA:
4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程,开始时风速平均每小时增加2千米,4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,一段时间风速保持不变,。当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止。结合风速与时间的图像填空:
①在
②沙尘暴从发生到结束共经过 小时;
③当
三、解答题:
1、一位投资者有两种选择:①中国银行发行五年期国债,年利率为2.63%。②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险,投资者一次性交保费10000元(10份),保险期为5年,5年后可得本息和10486.60元,一般还可再分得一些红利,,但分红的金额不固定,有时可能多,有时可能少。
(1)写出购买国债的金额
(2)求鸿泰分红保险的年利率,并写出支付保费
(3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊。
2、如图,已知一次函数
(1)求直线BC的解析式;
(2)若P是直线BD上一点,且
3、如图,直线
(1)求点P的坐标;
(2)设点R与点P在同一反比例函数的图像上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥
4、如图,直线
(1)求tan∠BAO的值;
(2)若
(3)在
参考答案
一、选择题:ADCCB
二、填空题:
1、二、三象限;2、
三、解答题:
1、(1)
(3)各有利有弊,当保险分红大于828.40元时,买保险有利,但分红只是预测,不能保证。
2、(1)
3、(1)P(2,3);(2)B(3,2)或(
4、(1)tan∠BAO=
抛物线与x轴交点公式|6.已知抛物线与轴两交点在轴同侧,它们的距离的平方等于,则的值为( )
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