2015-2016年龙岩市非一级达标校高一数学第一学期期末(一)
1.若tanθ+ =6,则sin2θ=( )
A. B. C. D. 2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x值为﹣4,则输出y值是( ) A.7 B.4 C.﹣1 D.0
3.为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图,已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在之间的学生人数是( )
A.32 B.24 C.18 D.12
4.已知一个k进制数132与十进制数42相等,那么k等于( )
A.8或5 B.6 C.5 D.8
5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球
6.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
7.函数f(x)=tanx与g(x)=sinx的图象在区间(﹣ , )上的交点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f(x)=cos4x﹣sin4x.下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间上是减函数
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为 D.f(x)的值域为
9.若平面向量 , , 两两所成的角相等,且 =1, =1, =3,则 等于( )
A.2 B.5 C.2或5 D. 或 10.已知圆O:x2+y2=1及以下3个函数:①f(x)=xcosx;②f(x)=tanx;③f(x)=xsinx.其中图象能等分圆O面积的函数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
11.设f(x)=2sin(ωx+φ)﹣m,恒有f(x+ )=f(﹣x)成立,且f( )=﹣2,则实数m的值为( )
A.±2 B.±4 C.﹣4或0 D.0或4
12.等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上,B在y轴的正半轴上,C在第一象限,设∠BAO=θ(O为坐标原点),AB=AC=2,当OC的长取得最大值时,tanθ的值为( )
A. B.﹣1+ C. D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.已知 =(﹣2,﹣1), =(λ,1),若 和 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 .
14.如图所示,分别以A,B,C为圆心,在△ABC内作半径为2的扇形(图中的阴影部分),在△ABC内任取一点P,如果点P落在阴影部分的概率为 ,那么△ABC的面积是 .
15.某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos220°﹣sin10°cos20°;
②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°;
③sin216°+cos214°﹣sin16°cos14°;
请将该同学的发现推广为一般规律的等式为 .
16.如图,已知正方形ABCD的边长为1,E在CD延长线上,且DE=CD.动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点,其中 =λ +μ ,则下列命题正确的是 .(填上所有正确命题的序号)
①当点P为AD中点时,λ+μ=1;
②λ+μ的最大值为3;
③若y为给定的正数,则一存在向量 和实数x,使 =x +y .
2015-2016年龙岩市非一级达标校高一数学第一学期期末(二)
.已知函数f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且当x= 时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在上的图象(要列表);
(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.
18.国Ⅳ标准规定:轻型汽车的屡氧化物排放量不得超过80mg/km.根据这个标准,检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆,对其氮氧化物的排放量进行检测,检测结果记录如表(单位:mg/km)
A8580856090
B70x95y75
由于表格被污损,数据x,y看不清,统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等.
(1)求表格中x与y的值;
(2)从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆,记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为X,求X=1时的概率.
.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC、CD上的点,且满足 = =λ.
(1)当λ= 时,求向量 和 夹角的余弦值;
(2)求 • 的取值范围.
.在平面直角坐标系中,已知向量 =(1,2),又点A(8,0),B(﹣8,t),C(8sinθ,t).
(1)若 ⊥ ,求向量 的坐标;
(2)若向量 与向量 共线,当tsinθ取最小值时,求 • 的值.
.已知f(α)= .
(1)若α为第二象限角且f(α)=﹣ ,求 的值;
(2)若5f(α)=4f(3α+2β).试问tan(2α+β)•tan(α+β)是否为定值(其中α≠kπ+ ,α+β≠kπ+ ,2α+β≠kπ+ ,3α+2β≠kπ+ ,k∈Z)?若是,请求出定值;否则,说明理由.
.已知函数f(x)= sin2x+2cos2x+m(0≤x≤ ).
(1)若函数f(x)的最大值为6,求常数m的值;
(2)若函数f(x)有两个零点x1和x2,求m的取值范围,并求x1和x2的值;
(3)在(1)的条件下,若g(x)=(t﹣1)f(x)﹣ (t≥2),讨论函数g(x)的零点个数.
2015-2016年龙岩市非一级达标校高一数学第一学期期末(三)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.若tanθ+ =6,则sin2θ=( )
A. B. C. D. 【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】把正切化为正弦和余弦,代入计算即可得出结论.
【解答】解:∵tanθ+ =6,
∴ + = = = =6,
解得sin2θ= .
故选:C.
2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x值为﹣4,则输出y值是( ) A.7 B.4 C.﹣1 D.0
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=1时,退出循环,输出y的值为0.
【解答】解:当输入x=﹣4时,|x|>3,执行循环,x=|﹣4﹣3|=7,
|x|=7>3,执行循环,x=|7﹣3|=4,
|x|=4>3,执行循环,x=|4﹣3|=1,退出循环,
输出的结果为y=log 1=0.
故选:D.
3.为了了解高三学生的数学成绩,抽取了某班60名学生,将所得数据整理后,画出如图所示的频率分布直方图,已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,则该班学生数学成绩在之间的学生人数是( )
A.32 B.24 C.18 D.12
【考点】频率分布直方图.
【分析】设从左到右各长方形高的比为2k,3k,5k,6k,3k,k,由频率分布直方图的性质求出k=0.05,再求出该班学生数学成绩在之间的学生频率,由此能求出该班学生数学成绩在之间的学生人数.
【解答】解:∵从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1,
∴设从左到右各长方形高的比为2k,3k,5k,6k,3k,k,
由频率分布直方图的性质得:
2k+3k+5k+6k+3k+k=1,解得k=0.05,
∴该班学生数学成绩在之间的学生频率为:
3k+k=4k=4×0.05=0.2,
∴该班学生数学成绩在之间的学生人数是60×0.2=12(人).
故选:D.
4.已知一个k进制数132与十进制数42相等,那么k等于( )
A.8或5 B.6 C.5 D.8
【考点】进位制.
【分析】由题意可得:1×k2+3×k+2=42,即可解得k的值.
【解答】解:由题意可得:1×k2+3×k+2=42,
整理可得:k2+3k﹣40=0,
从而解得:k=﹣8排除,k=5.
故选:C.
5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球
【考点】互斥事件与对立事件.
【分析】由题意知所有的实验结果为:“都是白球”,“1个白球,1个红球”,“都是红球”,再根据互斥事件的定义判断.
【解答】解:A、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,故A不对;
B、“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,故B不对;
C、“恰有1个白球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必有一个发生,故C对;
D、“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对立事件,故D不对;
故选C.
6.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【考点】频率分布直方图.
【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A正确;
B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误.
【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;
B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;
C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;
D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误.
故选:D
7.函数f(x)=tanx与g(x)=sinx的图象在区间(﹣ , )上的交点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】正切函数的图象;正弦函数的图象.
【分析】通过sinx<x<tanx(x∈(0, )),以及y=sinx与y=tanx的奇偶性,分(0, ),(﹣ ,0)求解即可.
【解答】解:因为“sinx<x<tanx(x∈(0, ))”,
故y=sinx与y=tanx,在(0, )内的图象无交点,又它们都是奇函数,
从而y=sinx与y=tanx,在(﹣ ,0)内的图象也无交点,
所以在区间(﹣ , )范围内,
函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为1个,即坐标原点(0,0).
故选:A.
8.已知函数f(x)=cos4x﹣sin4x.下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间上是减函数
B.函数f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的最小正周期为 D.f(x)的值域为
【考点】三角函数中的恒等变换应用;余弦函数的图象.
【分析】利用平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式,由x∈得2x∈,利用余弦函数的单调性判断A;由余弦函数的奇偶性、图象的对称性判断B;由周期公式求出函数f(x)的周期可判断C;由余弦函数的值域判断D.
【解答】解:由题意得,f(x)=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x,
A、由x∈得2x∈,则f(x)在区间上是减函数,A正确;
B、函数f(x)=cos2x是偶函数,图象关于y轴对称,B不正确;
C、函数f(x)=cos2x的最小正周期T= ,C不正确;
D、由﹣1≤cos2x≤1得,f(x)=cos2x的值域是,D不正确,
故选:A.
9.若平面向量 , , 两两所成的角相等,且 =1, =1, =3,则 等于( )
A.2 B.5 C.2或5 D. 或 【考点】向量的模.
【分析】由已知可得:平面向量 , , 两两所成的角相等,因此其夹角为0°或120°.再利用向量共线的性质和向量数量积得性质即可得出.
【解答】解:∵平面向量 , , 两两所成的角相等,∴其夹角为0°或120°.
①当夹角为0°时, = =1+1+3=5;
②当夹角为120°时, = = = =2.
综上可知: 等于5或2.
故选C.
10.已知圆O:x2+y2=1及以下3个函数:①f(x)=xcosx;②f(x)=tanx;③f(x)=xsinx.其中图象能等分圆O面积的函数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【考点】函数的图象.
【分析】若图象能等分圆的面积,则等价为函数为奇函数,关于原点对称即可.
【解答】解:圆O:x2+y2=1及以下3个函数:①f(x)=xcosx;②f(x)=tanx;③f(x)=xsinx.
其中图象能等分圆O面积的函数,则该函数应为奇函数,
而:①f(x)=xcosx和 ②f(x)=tanx都是奇函数,而;③f(x)=xsinx为偶函数,
故选:B.
11.设f(x)=2sin(ωx+φ)﹣m,恒有f(x+ )=f(﹣x)成立,且f( )=﹣2,则实数m的值为( )
A.±2 B.±4 C.﹣4或0 D.0或4
【考点】正弦函数的图象.
【分析】用﹣x替换x代入f(x+ )=f(﹣x)可得f( ﹣x)=f(x),求出f(x)的对称轴,由题意和正弦函数对称轴的特点列出方程,求出m的值.
【解答】解:∵f(x)恒有f(x+ )=f(﹣x),用﹣x替换x得:
f( ﹣x)=f(x),
∴f(x)=2sin(ωx+φ)﹣m的图象关于直线x= 对称,
∴f(x)max=f( )=2﹣m或f(x)min=f( )=﹣2﹣m,
∵f( )=﹣2,
∴2﹣m=﹣2或﹣2﹣m=﹣2,解得m=4或m=0,
故选D.
12.等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上,B在y轴的正半轴上,C在第一象限,设∠BAO=θ(O为坐标原点),AB=AC=2,当OC的长取得最大值时,tanθ的值为( )
A. B.﹣1+ C. D. 【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】由题意画出图象过点C做x轴的垂线,由直角三角形的三角函数值、勾股定理表示出OC2,由二倍角公式、两角和的正弦公式化简,由正弦函数的最大值求出2θ的值,由诱导公式、商的关系求出tan2θ,由正切的二倍角公式求出tanθ的值.
【解答】解:由题意画出图象如图所示:
过点C做x轴的垂线,垂足为D,AB=AC=2,
在RT△ABO中,∠BAO=θ,则OA=2cosθ,
∵∠BAC= ,∴∠ACD=θ,
在RT△ACD中,AD=2sinθ,CD=2cosθ,
∴OD=OA+AD=2(sinθ+cosθ),
则OC2=OD2+CD2=4(1+sin2θ)+4cos2θ
=6+4sin2θ+2cos2θ=6+2 sin(2θ+α),
其中 , ,
当sin(2θ+α)=1时,OC的长取得最大值,
即 ,则 ,
∴ , ,
则 ,
∴ ,解得tanθ= ,则tanθ= ,
故选:A.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.已知 =(﹣2,﹣1), =(λ,1),若 和 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 λ>﹣ 且λ≠2 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】根据两个向量的夹角是钝角,则两个向量的夹角的余弦小于零,从而得到两个向量的数量积小于零,用坐标形式表示向量的数量积,解不等式,得到变量的范围.
【解答】解:∵ 与 的夹角为钝角,
∴cos< , ><0.且 与 不共线
∴ • <0.且﹣λ+2≠0
∴﹣2λ﹣1<0.且λ≠2
∴λ>﹣ 且λ≠2.
故答案为:λ>﹣ 且λ≠2
14.如图所示,分别以A,B,C为圆心,在△ABC内作半径为2的扇形(图中的阴影部分),在△ABC内任取一点P,如果点P落在阴影部分的概率为 ,那么△ABC的面积是 8π .
【考点】几何概型.
【分析】由题意知本题是一个几何概型,先试验发生包含的所有事件是三角形的面积S,然后求出阴影部分的面积,代入几何概率的计算公式即可求解.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,设△ABC的面积为S,
∵阴影部分的面积S1= •π•22=2π,点P落在阴影部分的概率为 ,
∴ = ,
故S=8π.
故答案为:8π.
15.某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos220°﹣sin10°cos20°;
②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°;
③sin216°+cos214°﹣sin16°cos14°;
请将该同学的发现推广为一般规律的等式为 .
【考点】归纳推理.
【分析】3个等式有相同的特点,两个角的和30°,而且是正弦的平方和余弦的平方减去正弦和余弦之积,结果值为 .
【解答】解:由(2)得常数为 ,
所以由归纳推理可得推广为一般规律的等式: .
故答案为:: .
16.如图,已知正方形ABCD的边长为1,E在CD延长线上,且DE=CD.动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点,其中 =λ +μ ,则下列命题正确的是 ①② .(填上所有正确命题的序号)
①当点P为AD中点时,λ+μ=1;
②λ+μ的最大值为3;
③若y为给定的正数,则一存在向量 和实数x,使 =x +y .
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为1,可以得到 =λ +μ =(λ﹣μ,μ),然后根据相对应的条件加以判断即可.
【解答】解:由题意,设正方形的边长为1,建立坐标系如图,
则B(1,0),E(﹣1,1),
∴ =(1,0), (﹣1,1),
∴ =λ +μ =(λ﹣μ,μ),
当点P为AD中点时,
∴ =(0, ),
∴λ﹣μ=0,μ= ,
故λ+μ=1;故①正确,
当P∈AB时,有0≤λ﹣μ≤1,μ=0,
∴0≤λ≤1,0≤λ+μ≤1,
当P∈BC时,有λ﹣μ=1,0≤μ≤1,
∴λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3,
当P∈CD时,有0≤λ﹣μ≤1,μ=1,
∴μ≤λ≤μ+1,即1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3,
当P∈AD时,有λ﹣μ=0,0≤μ≤1,
∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2,
综上,0≤λ+μ≤3,
故②正确;
若存在向量 和实数x,使 =x +y ,(y为给定的正数),
则(x,0)+( , )=(0,1),
即(x+ , )=(0,1),
∴x+ =1,与y无关,
故③错误,
故答案为:①②.
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.已知函数f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,﹣ <α< )的最小正周期是π,且当x= 时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式,并作出f(x)在上的图象(要列表);
(2)将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,且y=g(x)是偶函数,求m的最小值.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象;五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
【分析】(1)由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的图象.
(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的奇偶性,求得m的最小值.
【解答】解:(1)因为函数f(x)的最小正周期是π,所以ω=2.
又因为 时,f(x)取得最大值2.所以A=2,
同时 , ,∵ ∴ ,
∴函数y=f(x)的解析式 .
∵x∈,∴ ,列表如下:
π2π
x0x
f(x)120﹣201
描点、连线得下图
(2)由已知得y=g(x)=f(x﹣m)= 是偶函数,
所以 , ,
又因为m>0,所以m的最小值为 .
18.国Ⅳ标准规定:轻型汽车的屡氧化物排放量不得超过80mg/km.根据这个标准,检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆,对其氮氧化物的排放量进行检测,检测结果记录如表(单位:mg/km)
A8580856090
B70x95y75
由于表格被污损,数据x,y看不清,统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等.
(1)求表格中x与y的值;
(2)从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆,记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为X,求X=1时的概率.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数.
【分析】(1)依题意得 , ,由此列出方程组能求出x,y的值.
(2)从被检测的5辆B种型号的出租车,氮氧化物排放量不超过80mg/km有三辆,氮氧化物排放量超过80mg/km有两辆,利用列举法能求出从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆,X=1时的概率.
【解答】解:(1)依题意得 , ,
又 ,
,
,
,
∴ 解得 或 …
(2)从被检测的5辆B种型号的出租车,
氮氧化物排放量不超过80mg/km有三辆,记为A1,A2,A3,
氮氧化物排放量超过80mg/km有两辆,记为B1,B2
.从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆的情况有:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),
(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)共10种.
其中符合条件的有:,(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),
(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),共6种.
所求概率 . …
故X=1时的概率为 . …
19.在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC、CD上的点,且满足 = =λ.
(1)当λ= 时,求向量 和 夹角的余弦值;
(2)求 • 的取值范围.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(1)法1:根据向量数量积的公式直接进行求解即.法2:建立坐标系,求出向量坐标,利用向量数量积的坐标公式进行求解.
(2)法1:利用三点关系,建立数乘向量关系,结合向量数量积的定义进行求解.法2:利用坐标系,求出向量坐标,利用向量数量积的坐标公式进行求解.
[2015龙岩中考英语]2015-2016年龙岩市非一级达标校高一数学第一学期期末
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