椭圆双曲线抛物线知识点(1)
椭圆双曲线抛物线
定义1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
图形
方
程标准方程
参数方程
范围─a£x£a，─b£y£b|x| ³ a，yÎRx³0
中心原点O(0，0)原点O(0，0)
顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)
对称轴x轴，y轴;
长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.x轴
焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)
焦距2c (c=
离心率
准线x=
渐近线 y=±
焦半径
通径
2p
焦参数
椭圆双曲线抛物线知识点(2)
椭圆双曲线抛物线知识点(3)
(一);解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法;(1)椭圆有两种定义;(2)双曲线有两种定义;2、韦达定理法;因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故;3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些;xy0x2y2;(1)2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B;aba2b2xy0x2y2;(2)2?2?1(a?0,b
专题：解圆锥曲线问题常用方法(一)
解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
xy0x2y2
(1)2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有0 ?k?0。
aba2b2xy0x2y2
(2)2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有0?k?0
aba2b2
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4______________
(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析：(1)A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF当A、P、F三点共线时，距离和最小。
(2)B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R距离和最小。
解：(1)(2，2)
连PF，当A、P、FAP?PH?AP?PF最小，此时AF即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，(注：另一交点为(
1
2)1
,?2)，
2
舍去)
(2)(
1
,1) 4
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=
11，∴Q(,1) 44
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
x2y2
例2、F是椭圆??1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，43
(1)PA?PF的最小值为 (2)PA?2PF的最小值为
分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF?虑问题。
解：(1)4-
设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF?
PA?PF?PA?2a?PF??2a?(PF??PA)?2a?AF??4?
当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, PA?PF取得最小值为4-5。 (2)3
作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=∴PF?
1， 2
1
PH,即2PF?PH 2
∴PA?2PF?PA?PH
a2
?xA?4?1?3 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为c
例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”共线(如图中的A、M、C共线，B、D、M共线)圆的“半径等于半径”(如图中的MC?MD)。
解：如图，MC?MD，
∴AC?MA?MB?DB6?MA?MB?2 ∴MA?MB?8 (*)
2
x2y2
∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为??1
1615
2
点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4，再移项，平方，?相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐!
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
3
sinA,求点A的轨迹方程。 5
分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=
33
sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA 55
∴AB?AC?
3
BC 5
即AB?AC?6 (*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
x2y2
??1 (x>3) 所求轨迹方程为
916
点评：要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)
22
?(x1?x2)2?(x12?x2)?9① 则? ② ?x1?x2?2x0
③ ?22
?x1?x2?2y0
由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
3
∴4y0?4x0?
2
9
， 2
1?4x0
2
4y0?4x0?
992
?(4x?1)??1 022
4x04x0?1
≥29?1?5, y0?
5
4
当4x02+1=3 即 x0??
2255
时，(y0)min?此时M(?,) 2244
法二：如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3
∴MM2?
3， 即25
∴MM1?， 当4
∴M到x
点评：而不求”的方法。证AB是否能经过焦点Fx2y2
??1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次例6、已知椭圆
mm?1
变于A、B、C、D、设f(m)=AB?CD,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D防
f(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD?
4
?
2(xB?xC)?(xA?xD)
?
2(xB?XC)
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
x2y2
解：(1)椭圆??1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)
mm?1
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
2m
(2?m?5)
2m?1
f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m
?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2?
2m?1
(2)f(m)?
2
2m?1?11
?2(1?)
2m?12m?1
10242
; 当m=2时，f(m)max? 93
∴当m=5时，f(m)min?
点评：此题因最终需求xB?xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得
x0yxx?1
?0?k?0，将y0=x0+1，k=1代入得0?0?0，∴mm?1mm?1
x0??
m2m
，可见xB?xC??
2m?12m?1
当然，解本题的关键在于对f(m)?AB?CD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现
f(m)?xB?xC是解此题的要点。
【同步练习】
x2y2
1、已知：F1，F2是双曲线2?2?1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若AB?m，
ab
5
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