裂项公式(1)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.。(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)](3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)(5) n·n!=(n+1)!-n!(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)](7)1/(√n+√n+1)=√(n+1)-√n(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]
裂项公式(2)
【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.解：an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂项)则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂项求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1)【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)
= [n(n+1)(n+2)-2]/3【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。原式=1/3 *[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……+(1/91-1/94)]=1/3*(1-1/94)=31/94
裂项公式(3)
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)附：数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an= n5、求数列的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3② (an>0) 如an=③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当 a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。[1]
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