娄底市2014-2015年上学期高一期中考试数学试题
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密云县2014—2015学年度第一学期期末考试
高一数学试卷 2015.1
第一部分 (选择题 共40分)
一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.娄底市2014-2015年上学期高一期中考试数学试题
3.已知△ 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，若 ，那么
的值是
A. B.3 C. D.4
4.在下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的函数为
A. B. C. D.
5.函数 的一个对称中心
A. B. C. D.
6. 函数 ( 且 )的图象经过点 ，函数 ( 且 )的图象经过点 ，则下列关系式中正确的是
A. B. C. D.
7.如图，点 在边长为 的正方形的边上运动，设 是 的中点，则当 沿着路径 运动时，点 经过的路程 与△ 的面积 的函数关系为 ，则 的图象是
8.已知函数 ，在下列结论中：
① 是 的一个周期;② 的图象关于直线 对称;③ 在 上单调递减.
正确结论的个数为
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
第二部分 (非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 如果向量 ， ，且 ， 共线，那么实数 .
10. 已知集合 ，则 .
11.sin15osin75o的值是____________.
12. 已知函数 且 ，则 的值为 .
13. 已知 是正三角形，若 与向量 的夹角大于 ，则实数 的取值范围是__________.
14.给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数 最近的整数，记作 ，即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个判断：
① 的定义域是 ，值域是 ;
②点 是 的图象的对称中心，其中 ;
③函数 的最小正周期为 ;
④函数 在 上是增函数.
则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
已知函数 .
(I)求函数 的定义域;
(II)求 的值;
(III)求函数 的零点.
16. (本小题满分14分)
已知 . 其中 是第三象限角.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值;
(III) 求 的值.
17. (本小题满分13分)
已知向量 ， ，其中 .
(Ⅰ)当 时，求 的值;
(Ⅱ)当 时，求 的最大值.
18. (本小题满分14分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0，ω>0， |φ|<π2)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数 的解析式;
(Ⅱ)将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后得到新函数 的图象，求函数 的解析式;
(Ⅲ)求函数 的单调增区间.
19. (本小题满分13分)
设二次函数 满足条件：
① ，
② ;
③ 在 上的最小值为 .
(I)求 的值;
(II)求 的解析式;
(III)求最大值 ，使得存在 ，只要 ，都有 成立.
20.(本小题满分13分)
若函数 对任意的 ，均有 ，则称函数 具有性质 .
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质 ，并说明理由.
① ; ② .
(Ⅱ)若函数 具有性质 ，且 ( )，
求证：对任意 有 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否对任意 均有 .若成立给出证明，若不成立给出反例.
密云县2014—2015学年度第一学期期末考试
高一数学试卷参考答案及评分参考
2015.01
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C B C A C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.-2 10. 11.
12. 13. 14.①③④
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分13分)
解：(I)由题： , ----------------2分娄底市2014-2015年上学期高一期中考试数学试题
函数 的定义域 . ----------------4分
(II) ----------------8分
(III)令 ，
函数 的零点为 ----------------13分
16. (本小题满分14分)
解：(Ⅰ) 且 是第三象限角，
----------------2分
----------------4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)， ----------------6分
----------------9分
(III)
----------------12分
----------------14分
17. (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)当 时， ，---------------2分
----------------5分
(Ⅱ)由题:
. ----------------10分
，
.
当 即 时， ----------------11分
的最大值为 . --------------- ----13分
18. (本小题满分14分)娄底市2014-2015年上学期高一期中考试数学试题
解：(Ⅰ)由所给图象知A=1， ---------------1分
34T=11π12-π6=3π4，T=π，所以ω=2πT=2.----------------2分
由sin2×π6+φ=1，|φ|<π2得π3+φ=π2，解得φ=π6，-------4分
所以f(x)=sin2x+π6. ----------------5分
(Ⅱ)f(x)=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解
析式为 =sin2x-π6+π6 ----------------7分
=sin2x-π6. --------------9分
(Ⅲ)由题:
. ----------------12分
----------------13分
.------------14分
19.(本小题满分13分)
解：(I) ∵ 在 上恒成立，
∴
即 . ---------------------------2分
(II)∵ ，∴函数图象关于直线 对称，
∴
∵ ，∴ ---------------------------4分
又∵ 在 上的最小值为 ，∴ ，即 ，
由 解得 ，
∴ ; -------------7分
(III)∵当 时， 恒成立，∴ 且 ，
由 得 ，解得 ---------------9分
由 得： ，
解得 ，……………(10分)
∵ ，∴ ，---------------11分
当 时，对于任意 ，恒有 ，
∴ 的最大值为 . -------------------12分
另解：(酌情给分) 且
在 上恒成立
∵ 在 上递减，∴ ，
∵ 在 上递减，
∴
∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最大值为
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)证明：①函数 具有性质 .
，……………1分
即 ，
此函数为具有性质 .……………2分
②函数 不具有性质 . ……………3分
例如，当 时， ，
，
所以， ，……………4分
此函数不具有性质 .
(Ⅱ)假设 为 中第一个大于 的值，
则 ，
因为函数 具有性质 ，
所以，对于任意 ，均有 ，
所以 ，
所以 ，
与 矛盾，
所以，对任意的 有 . ……………9分
(Ⅲ)不成立.
例如 ……………10分
证明：当 为有理数时， 均为有理数，
，
当 为无理数时， 均为无理数，
所以，函数 对任意的 ，均有 ，
即函数 具有性质 . ……………12分
而当 ( )且当 为无理数时， .
所以，在(Ⅱ)的条件下，“对任意 均有 ”不成立.……………13分
(其他反例仿此给分，
如 等.)
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